Tempat Kedudukan Akar TKA (Root Locus)

Teknik Kendali
Diploma Teknik Elektro
Pendahuluan
Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya).
Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah.
Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.
Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan.
Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation.
Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.
(Alternatif: gunakan MATLAB !)
W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus.
Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.
Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.
Penggambaran TKA
Andaikan Persamaan karakteristik
Memenuhi kriteria
Magnitude :
sudut :
keadaan ekstrim :
akar karakteristik = kutub
akar karakteristik = nol
Ilustrasi
Persamaan karakteristik :
Aturan Penggambaran TKA
(persamaan karakteristik : 1+KG(s) = 0 )

1. TKA berangkat (K = 0) dari kutub-kutub G(s) dan berakhir di nol-nol (zero) G(s)
2. cacah atau jumlah cabang TKA = orde tertinggi G(s)
3. TKA selalu simetri terhadap sumbu real
4. Sudut asimptot cabang yang berasal dari (menuju ke) adalah

;

dimana : selisih orde penyebut dan pembilang G(s)
n : cacah kutub
m : cacah zero
5. Titik potong asimptot dengan sumbu real (centroid) =


Aturan Penggambaran TKA
6. TKA di sumbu real berada pada ruas yang : cacah kutub ditambah cacah
nol G(s) disebelah kanannya adalah ganjil.
Aturan Penggambaran TKA
7. Sudut berangkat dari suatu kutub G(s) (= ) atau sudut datang ke suatu
nol G(s)
Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 180 – (jumlah sudut vektor- vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari zerozero ke pole kompleks tsb).
Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 180 – (jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari polepole ke zero kompleks tsb).
Aturan Penggambaran TKA
8. Titik potong TKA dengan sumbu imajiner ditemukan memakai uji Routh.
9. Titik pisah (breakaway point) atau titik pelana (saddle point) = , memenuhi

Contoh Soal
Persamaan karakteristik :

1. Nilai kutub (pole) dan zero
K = 0 s = 0, -5, -6, -1+j, -1-j
K = ± s = -3, , , ,

2. Jumlah cabang TKA = 5 (orde tertinggi G(s))

3. TKA simetris dengan sumbu real

4. Sudut asimptot

Penyelesaian Soal
5. Titik potong asimptot dengan sumbu real
Penyelesaian Soal
6. Cabang TKA di sumbu real :
s = 0 s = -3 ; s = -5 s = -6
Penyelesaian Soal
7. Sudut berangkat dari s = -1 + j

8. Titik potong TKA dengan sumbu imajiner
Memakai pertolongan uji Routh atas :
Penyelesaian Soal
Memakai pertolongan uji Routh atas :

Tabel Routh dengan penyederhanaan
9. Break-away point :
Penambahan Kutub dan Nol
Penambahan kutub dan nol akan mendorong TKA ke kanan
Penambahan nol akan menarik TKA ke kiri